Modelo Exponencial e a Epidemiologia

O modelo matemático de crescimento exponencial tem tido um enorme enfoque nos últimos meses devido aos gráficos mostrando os números de casos confirmados de COVID-19 por todo mundo.

Já são cerca de 160 países atingidos pela doença e alguns deles, como o Brasil, ainda não atingiram seu pico.

Análises de gráficos e modelos matemáticos de predição têm sido gerados e utilizados para criar políticas públicas apropriadas. Mas o que é crescimento exponencial?

Em séries temporais, como por exemplo o total de casos dia a dia do COVID-19, podemos perceber um fator de crescimento de infectados de um dia para o outro maior que 1.

Como uma doença viral é altamente contagiosa, sem nenhuma medida de restrição, o fator de crescimento é alto, podendo ser muito bem aproximado pela curva exponencial.

Podemos exemplificar matematicamente o contágio como: se em um determinado dia houver Nd casos totais e o número médio de pessoas que cada contaminado possa ter contato seja E. Considerando que dado o contato com alguém contaminado, a probabilidade de uma pessoa saudável contrair a doença seja r, temos que:

novos casos = E * r * Nd

É possível perceber que esse número aumenta exponencialmente, visto que:

Nd+1 = Nd + (Nd * E *r)

Nd+1 = Nd(1+ E*r)

, onde Nd+1 é o número total acumulado no dia (d+1) e que Nd * E*r é positivo (como pode ser notado também na Figura 1).

Figura 1: Dados dos casos acumulados de confirmados com COVID-19 no Brasil mostram uma taxa positiva no crescimento de casos de um dia para o outro. A partir dos dados reais é possível fazer uma regressão e encontrar a curva exponencial que mais ‘ se encaixa’ nos pontos reais. A partir do conhecimento dos parâmetros da curva, é possível gerar uma projeção dos dados para os próximos dias (considerando nenhuma intervenção externa e uma rotina similar dos casos). Em epidemiologia, não é possível haver uma curva exponencial infinita, visto que o número de pessoas susceptíveis diminui com o aumento do número de infectados, e a probabilidade de contágio diminui. Além disso, quando toda a população de infectados é igual ao tamanho da população analisada, não é possível que o gráfico cresça mais. Essa análise pode ser encontrada também no portal.

Se sabemos o fator de crescimento dos casos de um dia para o outro, podemos utilizar esse fator para construir predições a cerca do tempo futuro, considerando a não interferência de fatos externos.

Como saber quando o crescimento exponencial para?

Olhando para a equação acima temos dois termos que interferem diretamente no número de casos: E e r.

O isolamento social, permite com que o número médio de pessoal na qual você tem contato, E, reduza.

Além disso, mesmo que o número médio de pessoas nas quais um individuo tem contato não diminua, ele só pode contaminar aqueles que estão susceptíveis ao seu redor, o que levaria uma probabilidade r = 0 de contaminação para aqueles que já estão infectados. Medidas de higiene também minimizam a probabilidade de contágio.

Por isso, obedeça as recomendações da OMS e #fiqueemcasa

Mais fontes:

Ma, J. (2020). Estimating Epidemic Exponential Growth Rate And Basic Reproduction NumberInfectious Disease Modelling.
Imperial College reports
Our world in Data – Statistics and Research

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